共线向量的性质(共线向量的基本定理是什么)

大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下共线向量的性质的问题，以及和共线向量的基本定理是什么的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！

本文目录

1. 向量共线定理
2. 共线向量的基本定理是什么
3. 共线向量基本定理的推论
4. 共线向量的公式
5. 向量共线定理公式

一、向量共线定理

1、向量共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

2、共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

3、共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

4、两向量平行（共线）有且只有两种情况：

5、两向量所在直线平行，换句话说就是，只要是两条平行直线上的两个向量，都可互称为平行向量（共线向量），与二者的位置、方向相同还是相反无关。两向量所在直线重合。换句话说就是，只要两个向量所在直线重合（或是同一条直线上的两个向量），则这两个向量互称为平行向量（共线向量）。与二者的位置、方向相同还是相反无关。

二、共线向量的基本定理是什么

共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

1、充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2、必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。

3、唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。[1]如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

参考资料来源：百度百科——共线向量基本定理

三、共线向量基本定理的推论

1、两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得λa+μb=0。

2、1）充分性，不妨设μ≠0，则由λa+μb=0得 b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。

3、2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以λa-b=0，取μ=-1≠0，故有λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有λa+μb=0。

4、证毕。两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得λa+μb=0。

5、1）充分性，∵μ≠0，∴由λa+μb=0可得 b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。

6、2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0；取μ=-1≠0，就有λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。

7、证毕。如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得λa+μb=0，那么λ=μ=0。

8、不妨假设μ≠0，则由推论1知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。

9、证毕。如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得

10、向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。

11、∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，

12、点C在直线AB上<=>向量AC与向量AB共线<=>存在唯一实数λ，使向量AC=λ·向量AB

13、∵三点P、A、B不共线，∴向量PA与向量PB不共线，

14、∴向量AC=λ·向量AB<=>向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA)<=>向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。

15、证毕。如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得

16、向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）

17、在推论4中，令 1-λ=μ，则λ+μ=1，知：

18、三点P、A、B不共线<=>点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）

19、下面证唯一性，若向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，

20、即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，

21、∵三点P、A、B不共线，∴向量PA与向量PB不共线，

22、证毕。如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得

23、λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

24、1）充分性，由推论5知，若三点P、A、B不共线，则点C在直线AB上<=>存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。

25、取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。

26、2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推论5即知，点C在直线AB上。

27、证毕。点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得

28、λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

29、∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。

30、由推论6知，实数λ、μ、ν不全为零，

31、1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。

32、2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA与向量PB共线，这与向量PA与向量PB不共线矛盾。

四、共线向量的公式

1、共线向量的公式向量m=（a，b），向量n=（c，d）；两者共线时ad=bc。

2、共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

3、共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

4、两向量平行（共线）有且只有两种情况：

5、两向量所在直线平行，换句话说就是，只要是两条平行直线上的两个向量，都可互称为平行向量（共线向量），与二者的位置、方向相同还是相反无关。

6、两向量所在直线重合。换句话说就是，只要两个向量所在直线重合（或是同一条直线上的两个向量），则这两个向量互称为平行向量（共线向量）。与二者的位置、方向相同还是相反无关。

五、向量共线定理公式

1、向量共线定理公式是b=λa，共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

2、充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

3、必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。

4、唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

关于本次共线向量的性质和共线向量的基本定理是什么的问题分享到这里就结束了，如果解决了您的问题，我们非常高兴。